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来自：本站 添加时间：2025-05-25 00:15
圆台体积公式的推导方法如下：
设该圆台的高为h，底面半径为r，顶面半径为R。首先，我们可以将该圆台切割成无限多个小圆柱体。每个小圆柱体的高度为Δh，底面半径为r'。
由于底面半径和顶面半径不一样，所以圆台在水平方向上不是等厚的。但是我们可以近似地认为在每个小圆柱体的高度Δh范围内，圆台的厚度保持不变，即等于Δr。
因此，每个小圆柱体的体积可以近似表示为：
V ≈ π(r'+Δr)^2Δh
然后，将每个小圆柱体的体积相加，就可以得到整个圆台的体积的近似值：
V ≈ ∑[π(r'+Δr)^2Δh]
接下来，我们将Δh和Δr的值取得越来越小，这样就可以得到更精确的体积值。当Δh和Δr趋于0时，我们可以通过积分的方式来对上式进行求和：
V = ∫[π(r'+dr)^2dh]
注意，在本步骤中，我们将Δr和Δh分别表示为dr和dh。
接下来，我们需要确定积分的上下限。底面圆半径r的值恰好对应于h=0的位置，而顶面圆半径R的值对应于h的最大值，也即圆台的高度h。因此，上述积分可以重写为：
V = ∫[π(r+dr)^2dh]从0到h
然后，我们根据乘法公式展开(r+dr)^2，并只保留到一阶小量：
V = ∫[π(r^2+2rdr+dr^2)dh]从0到h
接下来，我们进行积分运算。注意到在积分运算中，r和h都是独立变量，而dr和dh是微小量，可以看作常数。因此，积分运算中的(r^2+2rdr+dr^2)可以看作是常数项，从而可以提到积分符号外面。经过积分运算，我们得到：
V = π∫[(r^2+2rdr+dr^2)dh]从0到h
进行积分运算后，我们得到：
V = π[r^2h + rh^2 + frac{h^3}{3}]从0到h
经过代数运算化简，我们最终得到圆台的体积公式：
V = frac{π}{3}(r^2+Rr+R^2)h
综上所述，圆台的体积公式可以通过将圆台切割成无限多的小圆柱体，并进行积分运算推导得到。 早上7时，距开跑还有一个半小时，现场已人潮涌动，很多参赛者认真地做着热身准备，伸伸腿、弯弯腰、摩拳擦掌，每个人的脸上都写满了期待。她的皮肤细腻精致，淡妆一点装饰就能秒杀不少女星。
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